Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Решите уравнение

(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1

Ответ оставил Гость

$/textbf{(}/textbf{x}^/textbf{2}/textbf{-5}/textbf{x}/textbf{+7}/textbf{)}^/textbf{2}/textbf{-(x-2)(x-3)}/textbf{=1}$
$/textbf{(}/textbf{x}^/textbf{2}/textbf{-5x+7)}^/textbf{2}/textbf{-(}/textbf{x}^2/textbf{-5x+6)}/textbf{-1=0}$

Пусть $/textbf{x}^2/textbf{-5x=t,}$ тогда имеем:

$/textbf{(t}^/textbf{2}/textbf{+14t+49)-(t+6)-1=0} // // /textbf{t}^2/textbf{+14t+49-6-t-1=0} // // /textbf{t}^2/textbf{+13t+42=0}$

Найдем дискриминант.

$/textbf{D=b}^/textbf{2}/textbf{-4ac}=/textbf{13}^/textbf{2}/textbf{-4}/cdot/textbf{1}/cdot/textbf{42}/textbf{=1}$

D>0, значит уравнение имеет 2 корня.
Воспользуемся формулой
$/textbf{t}_{/textbf{1,2}}/textbf{=} /dfrac{/textbf{-b}/pm /sqrt{/textbf{D}} }{2a}$

$/textbf{t}_/textbf{1}/textbf{=} /frac{/textbf{-13-1}}{/textbf{2}} =/textbf{-7};/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/,/textbf{t}_/textbf{2}/textbf{=} /frac{/textbf{-13+1}}{/textbf{2}} /textbf{=-6}$

Возвращаемся к замене:

$/textbf{x}^/textbf{2}/textbf{-5x=-7} // /textbf{x}^/textbf{2}/textbf{-5x+7=0} // /textbf{D=b}^/textbf{2}/textbf{-4ac=(-5)}^/textbf{2}/textbf{-4}/cdot/textbf{1}/cdot/textbf{7}/textbf{=-3}$
D<0, значит уравнение корней не имеет.

$/textbf{x}^/textbf{2}/textbf{-5x+6=0}$

По т. Виета:
$/left /{ {{/textbf{x}_/textbf{1}/textbf{+x}_/textbf{2}/textbf{=5}} /atop {/textbf{x}_/textbf{1}/cdot/textbf{x}_/textbf{2}/textbf{=6}}} /right. /to /left /{ {{/textbf{x}_/textbf{1}/textbf{=2}} /atop {/textbf{x}_/textbf{2}/textbf{=3}}} /right.$

Ответ: 2;3.