Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Докажите равенство
cos $/frac{ /pi }{7}$ cos $/frac{4 /pi }{7}$ cos $/frac{5 /pi }{7}$ = $/frac{1}{8}$

Ответ оставил Гость

Нестандартное доказательство
Как известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если $x_{1};x_{2};x_{3}// x_{1}*x_{2}*x_{3}=/frac{a}{d}$
где уравнение
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
то есть нам надо что бы числа $x_{1}=cos/frac{/pi}{7}// x_{2}=cos/frac{4/pi}{7}// x_{3}=cos/frac{5/pi}{7}$ были корнями уравнения !
воспользуемся тем что
$cos/frac{/pi}{7}=-cos/frac{6/pi}{7}$
разложим левую часть в такой вид
$cos/frac{/pi}{7}=sin^6/frac{/pi}{7}-cos^6/frac{/pi}{7}$ $+15sin^2/frac{/pi}{7}*cos^4/frac{/pi}{7}-15sin^4/frac{/pi}{7}*cos^2/frac{/pi}{7}$
преобразуем его в такой вид
$cos/frac{pi}{7}=(1-cos^2/frac{/pi}{7})^3-cos^6/frac{/pi}{7}+$ $15(1-cos^2/frac{/pi}{7})*cos^4/frac{/pi}{7}-15(1-cos^2/frac{/pi}{7})^2*cos^2/frac{/pi}{7}$
теперь положим $cos/frac{/pi}{7}=x$ получим уравнение
$(1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=//$
она равна
$(1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0// 8x^3-4x^2-4x+1=0$
теперь корни это кубического уравнения будут числа
$-cos/frac{4/pi}{7}$
$cos/frac{/pi}{7}//$
$cos/frac{5/pi}{7}$
и как ранее было сказано достаточно поделить
$cos/frac{/pi}{7}*cos/frac{4/pi}{7}*cos/frac{5/pi}{7}=/frac{1}{8}$