Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Для премий на математической олимпиаде выделено три экземпляра одной книги, четыре - другой,восемь - третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между пятнадцатью победителями олимпиады

Ответ оставил Гость

Берём 15 победителей и ставим их аккуратно в линеечку :)
а 15 книг начинаем переставлять между ними (уточним задачу - книги наверняка должны быть розданы по 1 каждому, а то ведь можно роздать кому по 2 и больше а кому и ничего):
1) берём первые 3 книги 15 победителям можем их роздать так:
первую книгу мы можем роздать 15 вариантами, останется 14 детей и 2-рую книгу мы можем роздать 14 вариантами, ну и третью 13 вариантами оставшимся детям.
Но поскольку книги одинаковые то у нас получится много одинаковых роздач, а точнее по 6 одинаковых роздач каждого вида.
Почему шесть, для ответа рассмотрим роздачи 1, 2, и 3 победителям:
поскольку мы книги роздавали по 1 (сначало 1, поток 2, потом 3) то щитаем что они у нас пронумерованы.
1 побед(1 книга) - 2 (2) - 3 (3)
1 (1) - 2 (3) - 3 (2)
1 (2) - 2 (1) - 3 (3)
1 (2) - 2 (3) - 3 (1)
1 (3) - 2 (1) - 3 (2)
1 (1) - 2 (2) - 3 (1)
надеюсь суть уловили.
поскольку по 6 одинаковых, то число роздач надо разделить на 6, получим:
$/frac{15/cdot14/cdot13}{2/cdot3}$
Осталось 12 победителей, роздаем им 4 книги, аналогично описанному выше:
$/frac{12/cdot11/cdot10/cdot9}{2/cdot3/cdot4}$
ну а уж тем 8 кому не досталось книг типа 1 или 2 с почестями и с одним однозначным вариантов вручаем книгу типа 3.
а в результате получим:
$P=/frac{12/cdot11/cdot10/cdot9}{2/cdot3/cdot4}/frac{15/cdot14/cdot13}{2/cdot3}=/frac{15/cdot14/cdot13/cdot12/cdot11/cdot10/cdot9}{2/cdot3/cdot4/cdot2/cdot3}$

А если вы чтото слышали о Комбинаторике и формулах:
$C_n^k=/frac{n!}{(n-k)!k!}$
то можете смело и без лишних слов написаить в ответе:
$P=C_{15}^3C_{12}^4=/frac{15!}{12!3!}/frac{12!}{8!4!}=/frac{15!}{8!4!3!}$

Ответ: $/frac{15!}{8!4!3!}$