Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

при каком значении параметра p система уравнений
x^2+y^2=1
y+x^2=p
имеет одно решение?

Ответ оставил Гость

$/left/{/begin{array}{l} x^2+y^2=1 // y+x^2=p /end{array}$
Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:
$/left/{/begin{array}{l} y^2=1 // y=p /end{array} /Rightarrw /left/{/begin{array}{l} y=1; / y=-1 // y=p /end{array}$
Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:
$/left/{/begin{array}{l} x^2+y^2=1 // x^2+y=1 /end{array}$
$y^2-y=0 /// y(y-1)=0 /// y=0/Rightarrow x^2=1; / x=/pm1 /// y=1/Rightarrow x^2=0; / x=0$
Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:
$/left/{/begin{array}{l} x^2+y^2=1 // x^2+y=-1 /end{array}$
$y^2-y=2 /// y^2-y-2=0 /// (y+1)(y-2)=0 /// y=-1/Rightarrow x^2=0; / x=0 /// y=2/Rightarrow x^2 /neq -3/ /textless / 0$
Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
$x^2+y^2=1$ - окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
$y=-x^2+p$ - стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
Ответ: р=-1