Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Числа, выражающие длину, ширину и высоту прямоугольного параллелеаипеда образуют геометрическую прогрессию , объем параллелепипеда равен 216 м3 , диагональ равна корень из 364. Найти измерение параллелепипеда

Ответ оставил Гость

Длина (а) ширина (b) и высота (h) образуют геометрическую прогрессию:
b = a*q и h = b*q = a*q^2
V = a*b*h = 216 = a*a*q*a*q^2 = (aq)^3
диагональ параллелепипеда (D) связана в прямоугольный треугольник с высотой и диагональю основания (d)...
по т.Пифагора
D^2 = d^2 + h^2
d^2 = a^2 + b^2
364 = a^2 + b^2 + h^2 = a^2 + (aq)^2 + (aq)^2*q^2
получилась система из двух уравнений...
из первого получим: aq = 6
подставим во второе...
364 = a^2 + 36 + 36q^2
328 = (6/q)^2 + 36q^2 для удобства сделаем замену: q^2 = t
36 + 36t^2 - 328t = 0
дискриминант = 328*328 - 4*36*36 = 8*41*8*41 - 4*4*9*4*9 = 64*(41^2 - 9^2) =
64*(41-9)(41+9) = 64*32*50 = 64^2*5^2 = 320^2
(t)1;2 = (328+-320)/72
q^2 = 8/72 = 1/9 ---> q = 1/3
q^2 = 648/72 = 9 ---> q = 3
a = 6/q = 18 ---> b = 6 ---> h = 2
a = 6/q = 2 ---> b = 6 ---> h = 18
Ответ: измерения параллелепипеда 2, 6, 18
ПРОВЕРКА: V = 2*6*18 = 216
квадрат диагонали основания = 2^2+6^2 = 40
квадрат диагонали параллелепипеда = 40+18^2 = 364