Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Корни многочлена 4-степени p(x) ,их в данном случае 4,составляют арифмитическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени.(это значит что его можно представить при помощи только рац чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число )тоже представимы в радикалах 2 степени,если они существуют. при условии что все коэфиценты многочлена представимы в рад 2 степени.

Ответ оставил Гость

$p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5}// x=/sqrt{x_{1}}// x=/sqrt{x_{1}}+b// x=/sqrt{x_{1}}+2b// x=/sqrt{x_{1}}+3b//// p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a// y=/sqrt{y_{1}}// y=/sqrt{y_{2}}// y=/sqrt{y_{3}}// y=/sqrt{y_{4}}////$

По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение
$4/sqrt{x_{1}}+6b = -/frac{a_{2}}{a_{1}}// /sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+b)+/sqrt{x_{1}}$ $(/sqrt{x_{1}}+2b)+/sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+3b)+(/sqrt{x_{1}}+b)(/sqrt{x_{1}}+2b)+...=/frac{a_{3}}{a_{1}}// /sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+b)(/sqrt{x_{1}}+2b)+/sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+2b)$ $(/sqrt{x_{1}}+3b).........=-/frac{a_{4}}{a_{1}} // /sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+b)(/sqrt{x_{1}}+2b)$ $(/sqrt{x_{1}}+3b)=/frac{a_{5}}{a_{1}}//// /sqrt{y_{1}}+/sqrt{y_{2}}+/sqrt{y_{3}}+/sqrt{y_{4}}=-/frac{a_{2}}{a_{1}}//$
/sqrt{y_{1}y_{2}}+/sqrt{y_{1}y_{3}}+/sqrt{y_{1}y_{4}}+/sqrt{y_{2}y_{3}}...+ = /frac{a_{3}}{a_{1}} ///sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+/sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}}[/tex]

$/left /{ {{4/sqrt{x_{1}}+6b=/sqrt{y_{1}}+/sqrt{y_{2}}+/sqrt{y_{3}}+/sqrt{y_{4}} } /atop {/sqrt{x_{1}}(/sqrt{x_{1}}+b)(/sqrt{x_{1}}+2b)(/sqrt{x_{1}}+3b)-/sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a} /right. //$
Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах , то сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное .
По третьем равенству первой системы $/sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad$ , то произведение корней так же число радикальное , откуда с последних двух идет верное равенство