Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения может принимать sin ( a+ b + g)если при этих a,b ,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х? Задача с факультета ВМК.Я ее не смогла решить. ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ

Ответ оставил Гость

Рассмотрим сам многочлен в общим виде , для этого откинем $sinb;sina;cosg$
$x^4+ax^2+bx+c$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена.
Заметим что в этом многочлене есть $bx$ , а он не возможен при квадрате , и заметим то что старшая степень равна $4$ .
Тогда наш многочлен есть двучлен  вида $(x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2$ . Что есть частный случаи многочлена.
Тогда запишем    $x^4+2^{3sina}*x^2+x/sqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2$
То есть
$2^(1-sinb)=cosg// t^2=sin^2b+cos^2g$
Заметим что $sin^2b+cos^2g /neq 1$ так как оно противоречит условию $2^(1-sinb)=cosg$ что не имеет решений.
$t^2=sin^2b+cos^2g$
Рассмотрим функцию $f(a;b)=sin^2b+cos^2g$ очевидно $max=2// x=/frac{/pi}{2};y=-/pi$ .
То есть наше значение $t /leq /sqrt{2}$ . Что согласуется с значение
$8^{sina} /leq 8// sina /leq 1$ .
Заметим что при    $(x^2+/sqrt{2})^2=x^2+2/sqrt{2}+2$
Выше было сказано при каких значениях это справедливо , заметим что
$8^{sina}=2/sqrt{2}// sina=/frac{1}{2}// a=/frac{/pi}{6}$
Тогда $sin(a+b+g)=sin(/frac{/pi}{6}+/frac{/pi}{2}-/pi)=sin(/frac{-2/pi}{3})=-/frac{/sqrt{3}}{2}$
Так же с обратным значением оно равно $/frac{/sqrt{3}}{2}$
Ответ $+-/frac{/sqrt{3}}{2}$