Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х

Ответ оставил Гость

Из условия делимости n и k целые числа.
2x+1=yk
2y+1=xn
Очевидна нечетность 2x+1 и 2y+1 откуда n,k,x,y нечетные числа
Выразим: x=(yk-1)/2
4y+2=2xn=(yk-1)n
4y+2=ykn-n
2+n=y(kn-4)
Из симетрии задачи:
2+k=x(nk-4)
Откуда 2+n делится на nk-4
и 2+k делится на nk-4
При k>7 n>7 2+nОткуда: k<=7 n<=7 В силу нечетности k и n верно что k=1,3,5,7 n=1,3,5,7
1) При k=7 и k=5
Тогда если n>1 2+n< kn-4 Что невозможно тк меньшее число не делится на большее.
То возможно только n=1
k=7
2+n=kn-4
то y=2+n/kn-4=1
Подставим: 2+1=xn=x x=3
(3;1) решение. в силу симетрии (1;3) решение
k=5
при n=1
2+n=3
kn-4=1 y=3 1+6=nx x=7
(3;7) решение

2)k=3
при n>3
2+nесли n=3
верно равенство
2+n=nk-4
y=1
Подставим: 2+1=nx=3x x=1
(1;1) решение
n=2
n+2=4
nk-4=2
Делится то есть у=4/2=2
Подставим: 2*2+1=xn 5=2x x=5/2 невозможно.
n=1
n+2=3
kn-4=-1 невозможно тк x>0
3)Cамый замудренный вариант.
k=1 n+2 должно делится на n-4 y=n+2/n-4= n-4+6/n-4=1+6/n-4
то есть n-4=1 n-4=2 n-4=3 n-4=6
То есть возможны варианты:
n=5 y=7 n=6 y=4 n=7 y=3 n=10 x=2
НО тк n<7 (при n=7 это и есть вариант (1;3)) то возможны 1 два варианта
Подставим;
n=5 y=7
2*7+1=5x
15=5x
x=3 (7;3) (3;7) решение
n=6 y=4
9=6x Невозможно
Ответ: (1;3),(3;1),(1;1),(7;3),(3;7)