Опубликовано 03.01.2018 по предмету Алгебра от Гость

Вычислить предел:
1.) lim(tg^3(x)-3tgx)/cos(x+pi/6) при x стремящемся к pi/3.

Ответ оставил Гость

$/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{/tan^3 x-3/tan x}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

$=/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{/tan x(/tan^2 x-3)}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{/tan x(/tan x+/sqrt{3})*(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

по свойству пределов $/lim_{x/to c}(a*b)=/lim_{x/to c}a*/lim_{x/to c}b$

$=/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/tan x(/tan x+/sqrt{3})*/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

$=/tan /frac{/pi}{3}(/tan /frac{/pi}{3}+/sqrt{3})*/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

$=/sqrt{3}(/sqrt{3}+/sqrt{3})*/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

$=/sqrt{3}*2/sqrt{3}*/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

$=6*/lim_{x/to/frac{/pi}{3}}/frac{(/tan x-/sqrt{3})}{/cos(x+/frac{/pi}{6})}=$

Замена $t=x-/frac{/pi}{3}$ при $x/to/frac{/pi}{3}$ . Тогда $t/to 0.$

$x=t+/frac{/pi}{3}$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/sqrt{3}}{/cos(t+/frac{/pi}{3}+/frac{/pi}{6})}=$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/sqrt{3}}{/cos(t+/frac{/pi}{2})}=$

Преобразуем знаменатель. Получим косинус суммы
cos (a+b)=cos a*cos b-sin a sin b
$/cos(t+/frac{/pi}{2})=/cos t/cos/frac{/pi}{2}-/sin t/sin/frac{/pi}{2}=/cos t*0-/sin t*1=-/sin t$

Перепишем предел в новом виде

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/sqrt{3}}{-/sin t}=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/tan/frac{/pi}{3}}{-/sin t}=$
Воспользуемся формулой разности тангенсов, чтобы преобразовать числитель

$/tan(a-b)=/frac{/sin(a-b)}{/cos a/cos b}$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/tan/frac{/pi}{3}}{-/sin t}=$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/tan (t+/frac{/pi}{3})-/tan/frac{/pi}{3}}{-/sin t}=6*/lim_{t/to 0}/frac{/sin(t+/frac{/pi}{3}-/frac{/pi}{3})}{/cos(t+/frac{/pi}{3})/cos/frac{/pi}{3}}*/frac{1}{-/sin t}=$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/sin t}{/cos(t+/frac{/pi}{3})/cos/frac{/pi}{3}}*/frac{1}{-/sin t}=$

$=6*/lim_{t/to 0}/frac{/sin t}{/frac{1}{2}*/frac{1}{2}}*/frac{1}{-/sin t}=6*4/lim_{t/to 0}/frac{/sin t}{-/sin t}=-24.$