Опубликовано 03.01.2018 по предмету Физика от Гость

Элемент замыкают один раз сопротивлением 4 Ом, другой – сопротивлением 9 Ом. В обоих случаях во внешней цепи выделяется одинаковая мощность. При каком внешнем сопротивлении она будет наибольшей?

Ответ оставил Гость

По закону Ома для полной цепи ток I=E/(R+r), где E- ЭДС источника, r- его внутреннее сопротивление, R- сопротивление источника нагрузки. Мощность на нагрузке равна I²R, т.е. $(/frac{E}{r+R_1})^2*R_1=(/frac{E}{r+R_2})^2*R_2$
Обозначим сопротивление при первом подключении R1, а при втором - R2. (R1=4 Ом, R2=9 Ом). Известно, что мощность на подключаемых сопротивлениях была одна и та же, откуда получаем уравнение:
$/frac{R_1}{(r+R_1)^2}=/frac{R_2}{(r+R_2)^2}; // R_1(r+R_2)^2=R_2(r+R_1)^2; // R_1(r^2+2rR_2+R_2^2)=R_2(r^2+2rR_1+R_2^1); // R_1r^2+2R_1R_2r+R_1R_2^2=R_2r^2+2R_1R_2r+R_2R_1^2;$
$r^2(R_1-R_2)=R_1R_2(R_1-R_2); // r^2=R_1R_2 // r= /sqrt{R_1R_2}= /sqrt{4*9}= /sqrt{36}=6$ (Ом).
Теперь отыщем величину R, при которой достигается максимальная мощность.
Выражение для мощности уже было записано выше, теперь подставим в него вычисленную нами величину r:
$P=(/frac{E}{r+R})^2*R=(/frac{E}{R+6})^2*R=/frac{E^2R}{(r+R)^2}$
Ищем максимум функции P(R), для чего надо производную этой функции приравнять к нулю.
$P_{(R)}=(/frac{E^2R}{(r+R)^2})= /frac{E^2(R+6)^2-E^2R*2(R+6)}{(R+6)^4}=$
$/frac{E^2(R+6)-2E^2R}{(R+6)^3}=/frac{E^2R+6E^2-2E^2R}{(R+6)^4}=E^2 /frac{6-R}{(R+6)^3}$
Приравнивая последнее выражение к нулю получаем, что 6-R=0 ⇒R=6.
Анализируя знак выражения 6-R мы видим, что функция монотонно убывает, следовательно в точке R=6 она имеет максимум.
Правильность расчетов проверяется известным условием получения максимальной мощности на нагрузке: сопротивление нагрузки должно равняться внутреннему сопротивлению источника. У нас R=r=6 Ом.