Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, ели радиус равен 10, и ее средняя линия равна высоте

Ответ оставил Гость

Для начало выведем некие следствия, пусть наши основания большее и меньшее соответственно равны $b,c$ . Пусть высота $h$ тогда по условию
$/frac{b+c}{2}=h//$ . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как $a$ , диагонали у трапеции равны $d_{1}=d_{2}=d$ . Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна
$S=/frac{d*d*sin90}{2}=/frac{d^2}{2}$ , с другой стороны
$S=/frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2$ из чего следует $d^2=2h^2// d=/sqrt{2}h$
Рассмотрим треугольник $BCD$ радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций $ABCD$ .
Площадь треугольника $S_{BCD}=/frac{c*h}{2}$ , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений $3:4$ (как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как $3x;4x$ . Тогда высота трапеций и треугольника будет равна $h=7x$ . Значит площадь треугольника
$S_{BCD}=/frac{7x*c}{2}$ . Как известно по формуле $R=/frac{abc}{4R}$ вычислим наш радиус $R=/frac{7x/sqrt{2}*a*c}{4*/frac{7x*c}{2}}=10// a=/frac{20}{/sqrt{2}}$ . Теперь можно поступить так
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения
2) Выразим радиус по формуле $R=/frac{adc}{4/sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}$

1) $(/frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2$
2) если все подставить перейдем на такое уравнение
$R=/frac{140cx}{/sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}/sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}$ оно равна 10

1) $c^2=400-36x^2//$ подставляя во второе уравнение
$/frac{140x/sqrt{400-36x^2}}{/sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}/sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10$
откуда решая это уравнение получаем
$x=2$ тогда основание нижнее равна
$c=/sqrt{400-36*4}=16// /frac{b+16}{2}=14// b+16=28// b=12$
Ответ основания равны 16 и 12