Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Помогите пожалуйста! В трапеции проведены диагонали. Площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции

Ответ оставил Гость

Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника.
Точку пересечения диагоналей обозначим через О.
Треугольники АВО и СДО имеют равные площади   $S_{ABO}=S_{CDO}$ .
Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (В подобных треугольниках  линейные отрезки относятся как корни из площадей,
поэтому
$/frac{BC}{AD}=/frac{CO}{AO}=/frac{BO}{DO}=/sqrt{/frac{4}{9}}=/frac{2}{3}$
Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда
$S_{BOC}=/frac{1}{2}/cdot h/cdot BO/; ,/; S_{COD}=/frac{1}{2}/cdot h/cdot DO/////frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=/frac{BO}{DO}////no/; /; /frac{BO}{DO}=/frac{2}{3}/; /; /to /; /; /frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=/frac{2}{3}/; /; /to /; /; S_{COD}=S_{BOC}:/frac{2}{3}=4:/frac{2}{3}=/frac{4/cdot 3}{2}=6////S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{AOD}+S_{AOB}+S_{COD}=//=4+9+2/cdot S_{COD}=4+9+12=25$
Замечание. Докажем, что

$S_{AOB}=S_{COD}//S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}$
$S_{COD}=S_{ADC}-S_{AOD}$
Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД: $S_{AOB}=S_{COD}$