Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM .
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОЖАЛУЙСТА!

Ответ оставил Гость

Пусть площадь треугольника ABC=S.

1) S(площадь) треугольника AВM=S(площади) треугольника MBC (как равновеликие). Тогда, S треугольника ABC=2 S треугольника MBC= $/frac{S}{2}$

2) Рассмотри треугольник ABM.
S треугольника ABK=S треугольника AKM = $/frac{S}{4}$ (Т.к. АК-медиана и треугольника равновеликие).

3) Дополнительное построение:
Из т. М проведём МD параллельно АР. АМ=МС, следовательно,
по теореме Фалеса. PD=DC (отсекает равны отрезки).

4). Рассмотри треугольник ВМDю
По теореме Фалеса ВР=РD, т.к. АК-медиана. Следовательно, ВР=PD=DC.

5) Рассмотрим треугольник ABP.
S треугольника ABP= $/frac{1}{3}$ S(площади) треугольника АВС,
т.к. высота h-единственная, BP=PD=DC.
Тогда S треугольника АРС= $/frac{2}{3}$ S (площади) ABC.

6) S треугольника АКM= $/frac{S ABC}{4}.$

S четырёхугольника KPCM=S APC-AKM= $/frac{5S}{12}$

7) $/frac{SAMK}{S KPCM}= /frac{12S}{4*5S}= /frac{3}{5}$

Ответ: $/frac{3}{5}$

P.S. не забудьте ответ отметить как "лучший". Я единственный, кто решит Вам эту задачу на этом сайте.