Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

В треугольнике ABC сторона AB=16 , AC=64 , точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D . Найдите CD .

Ответ оставил Гость

Проведем из вершины $B,C$ отрезки $BE;EC$ , где точка $E$ пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра $BD$ с $AO$ $G$ .
Получим четырехугольник $ABCE$ , который вписан в окружность.
По теореме Птолемея $64*BE+16*EC=AE*BC$ , так как $AE$ лежит на центре , то треугольники $ABE;ACE$ прямоугольные.
$AE=/sqrt{64^2+EC^2}// BC=/sqrt{16^2+BE^2}$ .
Откуда при подстановке получаем соотношение
$BE*EC=1024$ .
Так как $/sqrt{16^2+BE^2}=/sqrt{64^2+(/frac{1024}{BE})^2}//// BE=64//// EC=16$
Четырехугольник прямоугольник.
Заметим что $BG$ - высота прямоугольного треугольника
$ABE$ , тогда
$BG=/frac{16*64}{/sqrt{16^2+64^2}}=/frac{64}{/sqrt{17}}$ .
Откуда по Теореме Пифагора
$BG^2+AG^2=16^2// AG=/sqrt{16^2-/frac{64^2}{17}}=/frac{16}{/sqrt{17}}//$ , так как $AG$ является высотой прямоугольного треугольника $BAD$ , то
$AG=/frac{16AD}{/sqrt{16^2+AD^2}}//// /frac{16}{/sqrt{17}}=/frac{16AD}{/sqrt{256+AD^2}}//// /sqrt{256+AD^2}=/sqrt{17}AD//// 256+AD^2=17AD^2//// 16AD^2=256//// AD=4$
тогда $CD=64-4=60$