Докажите, что если каждая диагональ делит площадь четырехугольника пополам, что этот четырехугольник – параллелограмм.

Ну вот пусть там площади четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, S1, S2, S3, S4, тогда
S1 + S2 = S3 + S4;
S1 + S4 = S3 + S2; 
следовательно S2 - S4 = S4 - S2; то есть S2 = S4; само собой и S1 = S3;
Теперь, если отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагонали, как x, y - для одной диагонали  z, w - для другой, то, x/y = S1/S2; и y/x = S3/S4 = S1/S2; так как у смежных треугольников есть общая высота к "основаниям", то есть к сторонам x и y, откуда стороны относятся, как площади.
Поэтому x = y; аналогично z = w; 
Получилось, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам. 
Я, конечно, могу продолжить доказывать, но тут можно и остановиться - дальше вам на уроках должны были объяснять. Вкратце - "вертикальные" треугольники не просто имеют равные площади, они вообще оказались равными, откуда следует параллельность сторон.

Если ответ по предмету Геометрия отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.