Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

В прямоугольном треугольнике провели высоту из прямого угла,эта высота разбила гипотенузу на 2 отрезка,докажите что отношение кубов этих отрезков равно отношению квадратов их проекций на катеты: x1^3/x2^3=x1^2/x2^2

Ответ оставил Гость

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ , с прямым углом $C=90а$
Обозначим $AC=a// BC=b//$ $AB=/sqrt{a^2+b^2}$ .
Проведем высоту $CH$ , опустим из точки $H$ перпендикуляры $HA_{1};HB_{1}$ , на $a;b$ соответственно.
Тогда высота $CH=/frac{ab}{/sqrt{a^2+b^2}}$ .
Найдем $x_{1};x_{2}$
Из прямоугольных треугольников образовавшиеся при проведении высоты $CH$ , по теореме Пифагора получим
$x_{1}=/sqrt{a^2-(/frac{ab}{/sqrt{a^2+b^2}})^2}=/frac{a^2}{/sqrt{a^2+b^2}}// x_{2}=/sqrt{b^2-(/frac{ab}{/sqrt{a^2+b^2}})^2}=/frac{b^2}{/sqrt{a^2+b^2}}//$
Найдем $x_{1};x_{2}$
Так же $A_{1}H;B_{1}H$ высоты меньших прямоугольных треугольников
$A_{1}H=/frac{/frac{a^2}{/sqrt{a^2+b^2}}*/frac{ab}{/sqrt{a^2+b^2}}}{a}=/frac{a^2b}{a^2+b^2}// B_{1}H=/frac{/frac{b^2}{/sqrt{a^2+b^2}}*/frac{ab}{/sqrt{a^2+b^2}}}{b}=/frac{b^2a}{a^2+b^2}////// x_{1}=/sqrt{/frac{a^4}{a^2+b^2}-/frac{a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}}=/frac{a^3}{a^2+b^2}// x_{2}=/sqrt{/frac{b^4}{a^2+b^2}-/frac{b^4a^2}{(a^2+b^2)^2}}=/frac{b^3}{a^2+b^2}//// /frac{x_{1}^3}{x_{2}^3}=/frac{a^6}{b^6}//// /frac{x_{1}^3}{x_{2}^3}=/frac{a^6}{b^6}$