Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y

Ответ оставил Гость

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y
Уравнение прямой имеет вид
4x=3y
y=4/3x
Отсюда видно, что угловой коэффициент равен 4/3. Поскольку угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, который, в свою очередь, равен производной, получаем
y(x₀)=4/3
С другой стороны
$/frac{x^2}{25} + /frac{y^2}{16} =1 // y=(16(1- /frac{x^2}{25}))^{1/2}= /frac{4}{5}(25-x^2)^{1/2} // y= /frac{4}{2*5}(25-x^2)^{-1/2}*(-2x)= /frac{-4x}{5 /sqrt{25-x^2} }$
$/frac{-4x}{5 /sqrt{25-x^2} }= /frac{4}{3} // /frac{x^2}{25 (25-x^2) }= /frac{1}{9} // 9x^2=25 (25-x^2) // 9x^2=25 *25-25x^2 // x^2(25+9)=25*25 // x= /sqrt{ /frac{25*25}{34} } = б/frac{25}{ /sqrt{34} }$
Координаты точек касания найдены.
Уравнение касательной имеет вид:
y=f(x₀)+4/3(x-x₀)
Найдем f(x₀)
$/frac{25^2}{25( /sqrt{34})^2}+ /frac{y^2}{16}=1 // /frac{25}{ 34}+ /frac{y^2}{16}=1 // y^2=16(1- /frac{25}{ 34})=16* /frac{9}{ 34} // y=б/frac{12}{ /sqrt{34} }$
Значит, уравнение касательной
$1) y= -/frac{12}{ /sqrt{34} }+ /frac{4}{3} (x- /frac{25}{ /sqrt{34} })= /frac{4}{3} x+/frac{-12*3-25*4}{3 /sqrt{34} }= /frac{4}{3} x-/frac{136}{ 3/sqrt{34} } // 2) y= /frac{12}{ /sqrt{34} }+ /frac{4}{3} (x+ /frac{25}{ /sqrt{34} })= /frac{4}{3} x+/frac{12*3+25*4}{3 /sqrt{34} }= /frac{4}{3} x+/frac{136}{ 3/sqrt{34} }$