Опубликовано 03.01.2018 по предмету Геометрия от Гость

Одна из диагоналей равнобокой.трапецию на равнобедренные треугольники. Найдите острый угол между диагоналями трапеции.

Ответ оставил Гость

Пусть основания трапеции a (большее) и b, боковая сторона ПО УСЛОВИЮ тоже равна b, а диагональ a.
Легко видеть, что диагональ является биссектрисой угла α трапеции при большем основании, поскольку треугольник со сторонами b и b - равнобедренный. Угол между диагональю и большим основанием равен углу диагонали с меньшим основанием, и - следовательно - равен углу диагонали с боковой стороной. Тогда из равнобедренного треугольника, образованного большим основанием, диагональю и боковой стороной, получается α/2 + 2*α = 180°; α = 72°;
Этот угол, само собой, равен углу между диагоналями - угол между диагоналями является внешним при вершине для равнобедренного треугольника, образованного двумя диагоналями и большим основанием, у которого углы при основании равны α/2;

У этой задачи есть очень важное и совсем нетривиальное продолжение.
Если продлить боковые стороны до пересечения, то угол при вершине получившегося треугольника будет равен 180° - 2*72° = 36°; получился еще один равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны - диагональ, и боковая сторона "достроенного" треугольника. То есть у "достроенного" треугольника с основанием b боковые стороны равны диагонали a.
Весь же треугольник (включая трапецию) можно описать так - это равнобедренный треугольник, у которого равны между собой три отрезка - основание, биссектриса угла при основании и отрезок боковой стороны от вершины до точки пересечения с биссектрисой.
Этих свойств треугольника достаточно, чтобы угол при основании был равен 72°;
Отсюда получается по свойству биссектрисы
a/b = (b + a)/a; или 4*x^2 + 2*x - 1 = 0; где x = b/(2a) = cos(72°);
отсюда cos(72°) = (√5 - 1)/4;
С помощью тригонометрии для cos(72°) (или, что то же самое, sin(18°)) можно получить кубическое уравнение. Его тоже можно решить, конечно. Но с помощью построенного треугольника для cos(72°) получается квадратное уравнение. Это очень ценный результат.