Опубликовано 03.01.2018 по предмету Математика от Гость

(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0
как решить это ДУ?

Ответ оставил Гость

$(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0;$ Выразим $y$ :
$/frac{dy}{dx}=- /frac{3x-5y}{x+y}; y=/frac{5y-3x}{x+y};$ Делим числитель и знаменатель дроби на х. $y= /frac{5 /frac{y}{x} -3}{1+ /frac{y}{x}};$
Уравнение является однородным, выполняем замену $/frac{y}{x}=u;y= /frac{5 u-3}{1+ u};$ $/frac{y}{x}=u;y=xu;y=ux+u;$
$ux+u= /frac{5 u-3}{1+ u};$
$ux= /frac{5 u-3}{1+ u}-u;$
$/frac{du}{dx}x= /frac{5 u-3-u-u^2}{1+ u};$
$/frac{du}{dx}x= /frac{4 u-3-u^2}{1+ u};$
Этоуравнение с разделяющими переменными.
$/frac{1+ u}{-u^2+4u-3}du= /frac{1}{x}dx;$
$-/frac{1+ u}{(u-1)(u-3)}du= /frac{1}{x}dx;$
Интегрируем $-/int/limits {/frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} /, du = /int/limits { /frac{1}{x}} /, dx$ Первый интеграл находим методом неопределенных коэффициентов
$/frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}= /frac{A}{u-1} + /frac{B}{u-3}= /frac{Au-3A+Bu-B}{(u-1)(u-3)}= /frac{(A+B)u-3A-B}{(u-1)(u-3)};$
$/left /{ {{A+B=1} /atop {-3A-B=1}} /right. /Rightarrow /left /{ {{A=-1} /atop {B=2}} /right.$
$/frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}=-/frac{1}{u-1} + /frac{2}{u-3};$
$-/int/limits {/frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} /, du= -/int/limits {(/frac{1}{u-1} + /frac{2}{u-3})} /, du=$
$-/int/limits {/frac{1}{u-1} } /, du+/int/limits {/frac{2}{u-3}} /, du=-ln|u-1|+2ln|u-3|;$
$/int/limits { /frac{1}{x}} /, dx =ln|x|+lnC;$
$-ln|u-1|+2ln|u-3|=ln|x|+lnC;$
$ln/frac{|u-3|^2}{|u-1|}=ln|Cx|;$
$/frac{|u-3|^2}{|u-1|}=|Cx|;$
$/frac{|/frac{y}{x}-3|^2}{|/frac{y}{x}-1|}=|Cx|$
Это есть общий интеграл данного уравнения.
Вот как-то так.