Опубликовано 03.01.2018 по предмету Математика от Гость

Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.Если 3 его угла острые и равны A,B,C.Cторона прилежащая к углам A и B равна x.

Ответ оставил Гость

Если вам нужно выразить каждую сторону через $A,B,C,x$ , пришел к такому.
Пусть у нас имеется четырехугольник $abcd$ . Соответственные углы равны $A,B,C$ , следовательно четвертый тупой угол $360-A-B-D$ $>90$ .
По теореме о биссектрисе четырехугольника , утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его $O$ .
Пусть отрезки биссектрис равны из вершины $A,B,C,D$ соответственно
$Q,W,Y,G$ . Радиус вписанной окружности $r$ .
Так как радиус перпендикулярен касательной , по теореме Пифагора выразим
каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны $/frac{A}{2};/frac{B}{2};/frac{C}{2}; / 180-/frac{A+B+C}{2}$
$/frac{r}{sin/frac{A}{2}}=Q//// /frac{r}{sin/frac{B}{2}}=W//// /frac{r}{sin/frac{C}{2}}=Y//// /frac{r}{sin/frac{A+B+C}{2}}=G$
Пусть стороны равны $a,b,c,x$
Так как в четырехугольник можно вписать окружность
$x+a=b+c$
По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике
$/frac{Q}{Y}=/frac{bx}{ac}//// /frac{G}{W}=/frac{ab}{cx}$
Из условия выше получаем
$/frac{sin/frac{B}{2}*sin/frac{A}{2}}{sin/frac{A+B+C}{2}sin/frac{C}{2}}*x=a//// /frac{sin/frac{C}{2}*sin/frac{A+B+C}{2}}{sin/frac{A}{2}*sin/frac{B}{2}}*c=b////$
так как
$x+a=b+c//// x+/frac{sin/frac{B}{2}*sin/frac{A}{2}}{sin/frac{A+B+C}{2}sin/frac{C}{2}}*x=/frac{sin/frac{C}{2}*sin/frac{A+B+C}{2}}{sin/frac{A}{2}*sin/frac{B}{2}}*c+c//// c=/frac{x+/frac{sin/frac{B}{2}*sin/frac{A}{2}}{sin/frac{A+B+C}{2}sin/frac{C}{2}}*x}{{sin/frac{A+B+C}{2}}{sin/frac{A}{2}*sin/frac{B}{2}}+1}}$
его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны