Опубликовано 03.01.2018 по предмету Математика от Гость

Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

Ответ оставил Гость

$/int/limits^1_{-1} {x^3cos( /pi x/4)} /, dx$
Будем интегрировать по частям:
$/int/limits^a_b {f} /, dg=fg- /int/limits^a_b {g} /, df$ , где:
$f=x^3//dg=cos( /pi x/4)dx//df=3x^2dx//g=4sin( /pi x/4)/ /pi$
Тогда:
$/int/limits^1_{-1} {x^3cos( /pi x/4)} /, dx =4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1-12//pi /int/limits^1_{-1}{x^2sin( /pi x/4)}dx$
Для интеграла $/int/limits^1_{-1}{x^2sin( /pi x/4)}dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$/int/limits^a_b {f} /, dg=fg- /int/limits^a_b {g} /, df$ , где:
$f=x^2//dg=sin( /pi x/4)dx//df=2xdx//g=-4cos( /pi x/4)/ /pi$
Тогда:
$4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1-12//pi /int/limits^1_{-1}{x^2sin( /pi x/4)}dx=//=4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-96/ /pi ^2 /int/limits^1_{-1} {xcos( /pi x/4)} /, dx$
Для интеграла $/int/limits^1_{-1} {xcos( /pi x/4)} /, dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$/int/limits^a_b {f} /, dg=fg- /int/limits^a_b {g} /, df$ , где:
$f=x//dg=cos( /pi x/4)dx//df=dx//g=4sin( /pi x/4)/ /pi$
Тогда:
$4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-96/ /pi ^2 /int/limits^1_{-1} {xcos( /pi x/4)} /, dx=//=4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-384xsin( /pi x/4)/ /pi ^3|^1_{-1}+//+384/ /pi ^3 /int/limits^1_{-1} {sin( /pi x/4)} /, dx$
Для интеграла $/int/limits^1_{-1} {sin( /pi x/4)} /, dx$ воспользуемся заменой переменой:
$u=sin( /pi x/4)//du= /pi dx /4$
Тогда:
$4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-//-384xsin( /pi x/4)/ /pi ^3|^1_{-1}+384/ /pi ^3 /int/limits^1_{-1} {sin( /pi x/4)} /, dx=$ $=4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-//-384xsin( /pi x/4)/ /pi ^3|^1_{-1}+1536/ /pi ^4 /int/limits^1_{-1} {sin(u)} /, du=$ $=4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-//-384xsin( /pi x/4)/ /pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ /pi ^4|^{/pi/4}_{-/pi/4}=//=4x^3sin( /pi x/4)/ /pi|_{-1}^1+48x^2cos( /pi x/4)/ /pi ^2|^1_{-1}-$ $-384xsin( /pi x/4)/ /pi ^3|^1_{-1}-1536cos(/pi x/4)/ /pi ^4|^{1}_{-1}=//=4(/pi x(/pi ^2x^2-96)sin(/pi x/4)+12(/pi ^2x^2-32)cos(/pi x/4))//pi ^4|^1_{-1}=$ $=4(/pi (/pi ^2-96)sin(/pi /4)+12(/pi ^2-32)cos(/pi /4))//pi ^4-//-4(-/pi (/pi ^2-96)sin(-/pi /4)+12(/pi ^2-32)cos(-/pi /4))//pi ^4=//=4(/pi (/pi ^2-96)sin(/pi /4)+12(/pi ^2-32)cos(/pi /4))//pi ^4-$ $-4(/pi (/pi ^2-96)sin(/pi /4)+12(/pi ^2-32)cos(/pi /4))//pi ^4=0$
Ответ:
$/int/limits^1_{-1} {x^3cos( /pi x/4)} /, dx =0$