Сколькими способами число 30 можно представить в виде суммы трёх натуральных слагаемых?
а) 25; б) 32; в) 48; г) 56; д) 75.

75

Оттолкнемся от того что есть такая теорема: число различных разложенийнатурального числа n в сумму k натуральных чисел равно C(n-1,k-1). Формула C(a,b) = a!/(b!*(a-b)!) - это комбинаторная формула количества сочетаний. Нонам она не совсем подходит, потому что она считает, например,такие разложения как 1+1+28 и 1+28+1 как 2 различных разложения. Поэтомунужно будет после подсчета по этой формуле избавиться от одинаковых разложений, отличающихся лишь порядком слагаемых.
Считаем C(30-1, 3-1) = C(29,2) = 406. Посмотрим теперь сколько среди этих разложений одинаковых. Сразу отметим что есть разложение 10+10+10 и оно среди этих 406 представлено в единственном числе. Значит рассматриваем теперь 405 разложений. Среди них присутствуют разложения с двумя одинаковыми слагаемыми, например, 2+2+26 и разложения без одинаковых слагаемых, например, как 1+2+27. Количество разложений с двумя одинаковыми слагаемыми можно сразу же быстро подсчитать: это 1+1+28, 2+2+26, 3+3+24, 4+4+22, 5+5+20, 6+6+18, 7+7+16, 8+8+14, 9+9+12, 11+11+8, 12+12+6, 13+13+4, 14+14+2. Всего 13 штук. Каждое из этих разложений представлено как бы в трех экземплярах, т.е. например: 9+9+12, 9+12+9, 12+9+9. Вычитаем из 405 13*3=39, получаем 366. На эти 366 штук приходятся все разложения состоящие из разных чисел. Понятно, что каждое такое разложение представлено как бы в 6 экземплярах. Например: 1+2+27, 1+27+2, 2+27+1, 2+1+27, 27+1+2, 27+2+1. Поэтому делим 366 на 6, получаем 61.
Итого число 30 раскладывается на 61+13+1 = 75 уникальных разложений из 3 натуральных слагаемых.
Вообще, проще, наверное, в лоб посчитать, потому что вышеизложенный способ тоже требует прилично "тупой ручной" работы.

Если ответ по предмету Математика отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.